Preludio ai Problemi Inversi

Libro VII de La Repubblica: Platone descrive una situazione che risulta essere un problema inverso. Gli abitanti della caverna vorrebbero ricostruire il mondo reale, sulla base delle ombre proiettate sul fondo della caverna.

Da questo problema, nasce il mito della caverna di Platone (428-348 A.C.): dalla spiegazione del filosofo greco, risulta piuttosto semplice decidere quale sia il problema diretto e quale quello inverso.

E’ intuitivo capire che, conoscendo la posizione del fuoco e del muro e gli oggetti le cui ombre vengono proiettate, si determinano in modo univoco le ombre. Inoltre oggetti simili in posizioni simili proiettano ombre che si assomigliano. In altre parole “proiettare le ombre su un muro” è un problema diretto ben posto. Il problema inverso consiste invece nel trovare la forma dell’oggetto la cui ombra si sta proiettando. Ovviamente il problema non ha una soluzione unica: infiniti oggetti possono avere tutti la stessa ombra sul muro. Ad esempio un cellulare ed un pacchetto di fazzolettini della stesse dimensioni, hanno esattamente la stessa ombra, così anche per oggetti con forme geometriche differenti. Pertanto il problema inverso risulta mal posto.

Ai problemi inversi può seguire un problema di ottimizzazione: considerata la non unicità della soluzione, si cerca “quella ottima” all’interno di un set di soluzioni predefinito. Lo studio dei problemi inversi è inoltre legato alle più disparate tecnologie, in vari settori. Si può pensare ad alcune delle più sofisticate macchine di diagnostica medica (TAC, SPECT, etc), che non fanno altro che risolvere problemi inversi: infatti ricostruiscono oggetti 2D e 3D dalle loro proiezioni.